2019杭电多校第五场 I. discrete logarithm problem

题目链接:HDU 6632

已知数字 a,b,p,并且 p=2^a3^b+1。想求解离散对数 a^x \equiv b \mod p

需要一个东西叫做 Pohlig-Hellman 算法。以下是来自维基百科内容的翻译,将使用群论语言。

p^e 阶循环群

这个算法用于计算 p^e 阶循环群 G=\langle g \rangle 的离散对数 g^x = h

  1. 初始化 x_0 := 0

  2. 计算 \gamma := g^{p^{e-1}},由拉格朗日配集分解计数定理知,ord~\gamma = p

  3. 对于 k \in \lbrace 0,\cdots,e-1 \rbrace,分别做

    1. 计算 h_k := (g^{-x_k}h)^{p^{e-1-k}}。由此构造可知,此元素的阶一定整除 p,即阶为 1p,因此 h_k \in \langle \gamma \rangle

    2. 使用 BSGS 算法,计算 d_k \in \lbrace 0, \cdots, p-1 \rbrace,其中 \gamma^{d_k} = h_k。这个操作的复杂度为 O(\sqrt{p})

    3. x_{k+1} := x_k + p^k d_k

  4. 返回 x_e

e \ll p 时,这个算法优于 BSGS,复杂度为 O(e\sqrt{p})

一般合数阶循环群

首先我们将 G = \langle g \rangle 的阶数刻画为 n = \prod_{i=1}^r {p_i}^{e_i}。现在我们解方程 g^x = h

  1. 对循环群阶数做因数分解

  2. 对于 i \in \lbrace 1, \cdots, r \rbrace,分别做

    1. 计算 g_i := g^{n / {p_i}^{e_i}},由拉格朗日定理知此元素的阶为 {p_i}^{e_i}

    2. 计算 h_i := h^{n/{p_i}^{e_i}},由此构造知 h_i \in \langle g_i \rangle

    3. 利用上面算法计算 x_i 使得 {g_i}^{x_i} = h_i

  3. 利用中国剩余定理解方程组 x \equiv x_i \mod {p_i}^{e_i}

  4. 返回 x

因此总的时间复杂度为

T(n) = O\left( \sum_{i=1}^r e_i (\log n + \sqrt{p_i}) \right)

回到本题

显然因为 p_i = 2, 3,我们不用 BSGS……好的。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long lld;

lld fpow(lld _a, lld k, lld MOD) {
    __int128 b = 1, a = _a % MOD;
    while (k) {
        if (k & 1) b = b * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        k >>= 1;
    }
    return b;
}

__int128 extgcd(__int128 a, __int128 b, __int128 &x, __int128 &y) {
    if (!b) return x = 1, y = 0, a;
    __int128 d = extgcd(b, a % b, y, x);
    return y -= (a / b) * x, d;
}

int T, e2, e3, G;
lld MOD, n, p2, p3;

lld solvePE(lld g, lld h, lld p, lld pe, int e)
{
    lld x = 0, pp = 1;
    lld y = fpow(g, pe/p, MOD);

    for (int k = 0; k < e; k++)
    {
        __int128 hk = fpow(g, pe-x, MOD);
        hk = hk * h % MOD;
        hk = fpow(hk, pe/p/pp, MOD);
        __int128 d, yy;
        for (d = 0, yy = 1; d < p; d++, yy = yy * y % MOD)
            if (yy == hk) break;
        x = (x + pp * d) % MOD, pp *= p;
    }

    return x;
}

__int128 solveN(lld h)
{
    if (e3 == 0) return solvePE(G, h, 2, p2, e2);
    else if (e2 == 0) return solvePE(G, h, 3, p3, e3);
    __int128 x2 = solvePE(fpow(G, p3, MOD), fpow(h, p3, MOD), 2, p2, e2);
    __int128 x3 = solvePE(fpow(G, p2, MOD), fpow(h, p2, MOD), 3, p3, e3);
    __int128 invp2, invp3; assert(extgcd(p2, p3, invp2, invp3) == 1);
    return (x2 * p3 * invp3 + x3 * p2 * invp2) % (MOD-1);
}

int main()
{
    cin >> T;

    while (T--)
    {
        long long a, b;
        cin >> MOD >> a >> b;
        n = MOD-1, e2 = e3 = 0, p2 = p3 = 1;
        while (n % 2 == 0) n /= 2, p2 *= 2, e2++;
        while (n % 3 == 0) n /= 3, p3 *= 3, e3++;
        for (G = 2; (e2 > 0 && fpow(G, (MOD-1)/2, MOD) == 1)
                 || (e3 > 0 && fpow(G, (MOD-1)/3, MOD) == 1); G++);
        __int128 inda = solveN(a), indb = solveN(b), x, y;
        __int128 d = extgcd(inda, MOD-1, x, y);
        lld ans = indb % d ? -1
            : lld((indb / d * x % (MOD-1) + (MOD-1)) % ((MOD-1)/d));
        cout << ans << endl;
    }

    return 0;
}

我竟然都忘了 extgcd 是怎么求多解的,我好菜啊QAQ

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